В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 10 корней из 2, а угол между ними равен 135 градусов....

Площадь треугольника равна 50.

Для нахождения площади треугольника сначала найдем третью сторону. Используем теорему косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - третья сторона, a и b - известные стороны, С - угол между известными сторонами.

Подставляем значения и находим третью сторону: c^2 = 10^2 + (10 sqrt(2))^2 - 2 10 10 sqrt(2) cos(135°), c^2 = 100 + 200 - 200 sqrt(2) * (-sqrt(2)/2), c^2 = 100 + 200 + 100, c^2 = 400, c = 20.

Теперь находим площадь треугольника по формуле Герона: S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.

p = (a + b + c) / 2, p = (10 + 10 sqrt(2) + 20) / 2, p = (10 + 10 sqrt(2) + 20) / 2, p = 20 + 10 * sqrt(2).

S = sqrt((20 + 10 sqrt(2)) (20 + 10 sqrt(2) - 10) (20 + 10 sqrt(2) - 10 sqrt(2)) (20 + 10 sqrt(2) - 20)), S = sqrt((20 + 10 sqrt(2)) (10 + 10 sqrt(2)) (10 sqrt(2)) (10 sqrt(2))), S = sqrt(4000), S = 20 sqrt(10).

Ответ: площадь треугольника равна 20 * sqrt(10).

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), ]

где ( a ) и ( b ) — это длины сторон, а ( C ) — угол между ними.

В данном случае, ( a = 10 ), ( b = 10\sqrt{2} ), и угол ( C = 135^\circ ).

Первым шагом найдем синус угла ( 135^\circ ). Известно, что:

[ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Теперь подставим все значения в формулу для площади:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Упростим выражение:

1. ( 10 \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{2} ).
2. ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{2} = 1 ).

Следовательно, площадь будет равна:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 100\sqrt{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 100\sqrt{2} = 50. ]

Таким образом, площадь треугольника равна 50 квадратных единиц.