В угол C ве­ли­чи­ной 128° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B,...

Для решения данной задачи нам нужно определить угол $AOB$, где $O$ — центр окружности, вписанной в угол $C$ с вершиной $C$ и величиной ${128}^{\circ }$. Окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.

1. Определение точек касания: Вспомним, что радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA$ и $OB$ — это радиусы окружности, перпендикулярные к сторонам угла $C$.

2. Определение углов: Так как $OA$ и $OB$ перпендикулярны к сторонам угла $C$, то углы $OAC$ и $OBC$ равны ${90}^{\circ }$.

3. Определение суммы углов: Угол при вершине $C$ между сторонами $CA$ и $CB$ равен ${128}^{\circ }$. Значит, сумма углов $OAC$ и $OBC$ должна быть ${180}^{\circ }-{128}^{\circ }$, поскольку сумма углов в четырёхугольнике $COAB$ равна ${360}^{\circ }$.

4. Вычисление угла $AOB$: Угол $AOB$ — это внешний угол для треугольника $COA$ или $COB$, поэтому угол $AOB$ равен ${360}^{\circ }-2\times {90}^{\circ }-{128}^{\circ }$.

   $\mathrm{\angle }AOB={360}^{\circ }-2\times {90}^{\circ }-{128}^{\circ }={360}^{\circ }-{180}^{\circ }-{128}^{\circ }={52}^{\circ }$

Таким образом, угол $AOB$ равен ${52}^{\circ }$.

Для решения данной задачи нам необходимо знать свойство того, что угол между касательной и радиусом окружности, проведенным к точке касания, равен 90°. Зная это, мы можем построить треугольник OAB, в котором угол AOB будет прямым. Таким образом, AOB = 90°.

Ответ: AOB = 90°.