В угол с величиной 84 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и Б. Найдите угол...

Угол АОВ равен 42 градусам.

Для нахождения угла АОВ можно воспользоваться тем, что касательная к окружности проведенная в точке касания, является перпендикуляром к радиусу. Таким образом, угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90 градусов.

Так как в угле 84 градуса угол АОВ равен 84/2 = 42 градуса.

Итак, угол АОВ равен 42 градуса.

Чтобы решить эту задачу, начнем с понимания конфигурации. У нас есть угол с вершиной ( O ) и величиной ( 84^\circ ). В этот угол вписана окружность, которая касается его сторон в точках ( A ) и ( B ). Нужно найти величину угла ( \angle AOB ).

Шаги решения:

1. Построение окружности: Вписанная окружность касается сторон угла, это означает, что радиусы, проведенные в точки касания ( A ) и ( B ), перпендикулярны этим сторонам. То есть, ( OA \perp OA' ) и ( OB \perp OB' ), где ( A' ) и ( B' ) — проекции точек ( A ) и ( B ) на стороны угла.

2. Свойства касательных: Радиусы, проведенные к точкам касания, равны, поэтому ( OA = OB ).

3. Известный угол: Величина угла ( AOB ) в данной конфигурации определяется как разностью между полным углом ( 360^\circ ) и удвоенным центральным углом, который, в свою очередь, связан с искомым углом между радиусами.

4. Вычисление искомого угла:

   • В треугольнике ( OAB ) углы при вершинах ( A ) и ( B ) равны, так как ( OA = OB ) (радиусы окружности).
   • Пусть ( \angle OAB = \angle OBA = x ).
   • Угол при вершине ( O ) в треугольнике ( OAB ) равен ( \angle AOB = 180^\circ - 2x ).

5. Использование величины угла:

   • Внешний угол для треугольника, образованный сторонами угла и дугой окружности, равен ( 84^\circ ).
   • Таким образом, угол ( x = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ ).

6. Нахождение угла ( \angle AOB ):

   • Подставляем значение ( x ) в выражение для угла ( \angle AOB ): [ \angle AOB = 180^\circ - 2 \times 42^\circ = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен ( 96^\circ ).