В усеченном конусе радиус меньшего основания равен 2 см.Высота конуса равна 3 см.,а его образующая составляет...

Чтобы найти объем усеченного конуса, нам сначала нужно определить объем полного конуса, из которого был вырезан меньший конус, а затем объем меньшего конуса. Разница между этими объемами даст объем усеченного конуса. Давайте рассмотрим шаг за шагом.

1. Радиус большего основания: Обозначим радиус большего основания как ( R ). Используем тригонометрию для нахождения ( R ).

   В данном конусе образующая составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Это означает, что в прямоугольном треугольнике, образованном высотой ( h ), радиусом ( R ) и образующей ( l ), угол между высотой и образующей равен 45 градусам.

   В таком треугольнике: [ \tan 45^\circ = \frac{R}{h} ] Так как (\tan 45^\circ = 1), то: [ R = h = 3 \text{ см} ]

2. Высота полного конуса: Обозначим высоту полного конуса ( H ). Нам нужно найти высоту ( H ), которая включает высоту усеченного конуса и дополнительную высоту до вершины полного конуса, которая даёт радиус меньшего основания ( r = 2 \text{ см} ).

   Используем подобие треугольников: [ \frac{r}{R} = \frac{h_1}{H} ] где ( h_1 ) — высота меньшего конуса и ( H = h + h_1 ).

   Зная, что ( r = 2 \text{ см} ), ( R = 3 \text{ см} ), и ( h = 3 \text{ см} ): [ \frac{2}{3} = \frac{h_1}{H} ] [ H = h + h_1 ] [ H = 3 + h_1 ]

   Подставим ( \frac{2}{3} ) в уравнение: [ \frac{2}{3} = \frac{h_1}{3 + h_1} ]

   Решим это уравнение: [ 2(3 + h_1) = 3 h_1 ] [ 6 + 2 h_1 = 3 h_1 ] [ 6 = h_1 ]

   Значит, высота полного конуса: [ H = 3 + 6 = 9 \text{ см} ]

3. Объем полного конуса: Используем формулу для объема конуса: [ V{\text{полный}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H ] [ V{\text{полный}} = \frac{1}{3} \pi (3^2) (9) ] [ V{\text{полный}} = \frac{1}{3} \pi (9) (9) ] [ V{\text{полный}} = 27 \pi \text{ куб. см} ]

4. Объем меньшего конуса: Используем ту же формулу для объема меньшего конуса: [ V_{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h1 ] [ V{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi (2^2) (6) ] [ V{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi (4) (6) ] [ V{\text{меньший}} = 8 \pi \text{ куб. см} ]

5. Объем усеченного конуса: Разница объемов полного и меньшего конусов: [ V{\text{усеченный}} = V{\text{полный}} - V{\text{меньший}} ] [ V{\text{усеченный}} = 27 \pi - 8 \pi ] [ V_{\text{усеченный}} = 19 \pi \text{ куб. см} ]

Итак, объем усеченного конуса равен ( 19\pi ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема усеченного конуса необходимо использовать формулу: V = 1/3 π h (R^2 + r^2 + R r),

где V - объем конуса, h - высота конуса, R - радиус большего основания, r - радиус меньшего основания.

В данном случае, из условия задачи: h = 3 см, R = ?, r = 2 см.

Также известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 45 градусов. Так как образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус меньшего основания - катетом, то можем использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса большего основания: sin(45°) = r / R, R = r / sin(45°) = 2 / sin(45°) ≈ 2.83 см.

Теперь можем подставить все значения в формулу и найти объем конуса: V = 1/3 π 3 (2.83^2 + 2^2 + 2.83 2) ≈ 27.35 см^3.

Таким образом, объем усеченного конуса равен примерно 27.35 кубических сантиметров.