Векторы а и в образуют угол в 60 градусов, причем |а|=3, |в|=5. определить |а+в| и |а-в|

Для решения задачи о векторах ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), которые образуют угол в 60 градусов, мы воспользуемся формулами для определения длины суммы и разности векторов.

Дано:

• ( |\mathbf{a}| = 3 )
• ( |\mathbf{b}| = 5 )
• Угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( 60^\circ ).

Формулы:

1. Для длины суммы векторов: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)} ] где ( \theta ) — угол между векторами.

2. Для длины разности векторов: [ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)} ]

Подставим значения:

• ( \theta = 60^\circ ), тогда ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ).

1. Вычислим ( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| ):

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(60^\circ)} ] [ = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}} ] [ = \sqrt{9 + 25 + 15} ] [ = \sqrt{49} = 7 ]

2. Вычислим ( |\mathbf{a} - \mathbf{b}| ):

[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(60^\circ)} ] [ = \sqrt{3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}} ] [ = \sqrt{9 + 25 - 15} ] [ = \sqrt{19} ]

Ответ:

• Длина вектора ( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 7 )
• Длина вектора ( |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{19} )

Таким образом, мы получили необходимые длины суммы и разности векторов.

Давайте рассмотрим геометрическую задачу, в которой требуется найти длины векторов суммы (|\mathbf{a} + \mathbf{b}|) и разности (|\mathbf{a} - \mathbf{b}|), если известны их длины (|\mathbf{a}| = 3), (|\mathbf{b}| = 5) и угол между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равен (60^\circ).

Формула для длины суммы и разности векторов

Длина суммы (|\mathbf{a} + \mathbf{b}|) и длина разности (|\mathbf{a} - \mathbf{b}|) находятся по формуле:

[ |\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 \pm 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta}, ]

где:

• (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины векторов,
• (\theta) — угол между векторами,
• знак (+) используется для суммы, а знак (-) — для разности.

Шаг 1. Определим (|\mathbf{a} + \mathbf{b}|)

Подставляем значения (|\mathbf{a}| = 3), (|\mathbf{b}| = 5), (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}) в формулу для суммы:

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta}. ]

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}}. ]

Считаем:

[ 3^2 = 9, \quad 5^2 = 25, \quad 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 15. ]

Подставляем:

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{9 + 25 + 15} = \sqrt{49} = 7. ]

Итак, (|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 7).

Шаг 2. Определим (|\mathbf{a} - \mathbf{b}|)

Теперь используем формулу для разности:

[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta}. ]

Подставляем значения (|\mathbf{a}| = 3), (|\mathbf{b}| = 5), (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}):

[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}}. ]

Считаем:

[ 3^2 = 9, \quad 5^2 = 25, \quad 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 15. ]

Подставляем:

[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{9 + 25 - 15} = \sqrt{19}. ]

Итак, (|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{19}).

Ответ

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 7, \quad |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{19}. ]