Векторы a и в связаны с векторами m и n равенствами а=3m-n и b=2m+5n. Выразите векторы m и n через векторы...

Для выражения векторов m и n через векторы a и b, можно воспользоваться системой уравнений, составленной из заданных равенств:

1) a = 3m - n 2) b = 2m + 5n

Сначала выразим вектор m через вектор a:

a = 3m - n 3m = a + n m = (a + n) / 3

Теперь подставим это выражение для m во второе уравнение:

b = 2m + 5n b = 2((a + n) / 3) + 5n 3b = 2(a + n) + 15n 3b = 2a + 2n + 15n 3b = 2a + 17n n = (3b - 2a) / 17

Теперь, найдем выражение для вектора m:

m = (a + n) / 3 m = (a + (3b - 2a) / 17) / 3 m = (17a + 3b - 2a) / 51

Таким образом, выражения для векторов m и n через векторы a и b будут:

m = (17a + 3b - 2a) / 51 n = (3b - 2a) / 17

Чтобы выразить векторы ( m ) и ( n ) через векторы ( a ) и ( b ), нам нужно решить систему линейных уравнений, заданных равенствами:

[ a = 3m - n ] [ b = 2m + 5n ]

Эти уравнения можно переписать в матричной форме:

[ \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \ n

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} ]

Чтобы найти ( m ) и ( n ), нужно сначала найти обратную матрицу к матрице коэффициентов:

[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 5 \end{pmatrix} ]

Обратная матрица ( A^{-1} ) находится по формуле:

[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) ]

где (\text{det}(A)) — определитель матрицы ( A ), а (\text{adj}(A)) — присоединённая матрица.

Сначала вычислим определитель (\text{det}(A)):

[ \text{det}(A) = (3)(5) - (-1)(2) = 15 + 2 = 17 ]

Теперь найдём присоединённую матрицу (\text{adj}(A)). Для матрицы ( 2 \times 2 ) присоединённая матрица — это просто транспонированная матрица алгебраических дополнений:

[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \ -2 & 3 \end{pmatrix} ]

Теперь можем найти обратную матрицу:

[ A^{-1} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 5 & 1 \ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{17} & \frac{1}{17} \ -\frac{2}{17} & \frac{3}{17} \end{pmatrix} ]

Теперь можем выразить векторы ( m ) и ( n ) через ( a ) и ( b ):

[ \begin{pmatrix} m \ n \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{17} & \frac{1}{17} \ -\frac{2}{17} & \frac{3}{17} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} ]

Выполним умножение матриц:

[ m = \frac{5}{17}a + \frac{1}{17}b ] [ n = -\frac{2}{17}a + \frac{3}{17}b ]

Таким образом, векторы ( m ) и ( n ) выражаются через ( a ) и ( b ) следующим образом:

[ m = \frac{5}{17}a + \frac{1}{17}b ] [ n = -\frac{2}{17}a + \frac{3}{17}b ]