Вершины прямоугольника со сторонами 12 и 16 см. лежат на сфере Найдите площадь сферы,если расстояние от ее центра до плоскости прямоугольника равно 24 см.
Вершины прямоугольника со сторонами 12 и 16 см. лежат на сфере Найдите площадь сферы,если расстояние от ее центра до плоскости прямоугольника равно 24 см.
Чтобы найти площадь сферы, на которой лежат вершины прямоугольника, нам нужно сначала определить радиус этой сферы.
Определение диагонали прямоугольника:
Прямоугольник имеет стороны 12 см и 16 см. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, \text{см} ]
Сфера и диагональ прямоугольника:
Диагональ прямоугольника, вписанного в сферу, является хордой этой сферы. Половина диагонали (то есть 10 см) — это расстояние от центра прямоугольника до центра сферы по горизонтали. Таким образом, весь прямоугольник лежит в плоскости, проходящей через центр сферы.
Радиус сферы:
Расстояние от центра сферы до плоскости, на которой лежит прямоугольник, равно 24 см. Это расстояние — перпендикулярное расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника.
Теперь нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора в трехмерном пространстве для нахождения радиуса сферы ( R ). Рассмотрим треугольник, в котором гипотенуза — это радиус сферы ( R ), один катет — это расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника (24 см), а другой катет — половина диагонали прямоугольника (10 см): [ R = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \, \text{см} ]
Площадь сферы:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле ( 4\pi R^2 ): [ S = 4\pi R^2 = 4\pi (26)^2 = 4\pi \cdot 676 = 2704\pi \, \text{кв. см} ]
Таким образом, площадь сферы составляет ( 2704\pi ) квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорему Пифагора в трехмерном пространстве. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 12 и 16 см. Он лежит на поверхности сферы, значит его центр тоже лежит на поверхности сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника равно 24 см, а это означает, что высота треугольника, образованного центром сферы, центром прямоугольника и одной из вершин прямоугольника, равна 24 см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы, центром прямоугольника и одной из вершин прямоугольника. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус сферы, высота треугольника и гипотенуза (расстояние от центра сферы до вершины прямоугольника) образуют прямой угол.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике мы можем найти радиус сферы. По условию, высота треугольника равна 24 см, а катеты равны 12 и 16 см. Поэтому радиус сферы будет равен корню из суммы квадратов катетов: √(12^2 + 16^2) = √(144 + 256) = √400 = 20 см.
Теперь, когда у нас есть радиус сферы, мы можем найти ее площадь. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: S = 4πr^2, где r - радиус сферы. Подставляем значение радиуса и получаем: S = 4π20^2 = 4π400 = 1600π см^2.
Итак, площадь сферы, на которой лежит прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, равна 1600π квадратных сантиметров.
