Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как...

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство описанной окружности вокруг треугольника.

Пусть радиус окружности равен R. Тогда длины дуг, которые делят окружность, будут равны R, 2R и 3R соответственно.

Мы знаем, что меньшая из сторон треугольника равна 17. По свойству равнобедренного треугольника, высота, опущенная из вершины на основание, является медианой и делит сторону пополам. Значит, другая сторона также равна 17.

Таким образом, мы имеем равносторонний треугольник со стороной 17. По формуле равностороннего треугольника, радиус описанной окружности равен R = a√3/3, где а - длина стороны треугольника.

Подставляем значение a = 17 в формулу и получаем: R = 17√3/3 ≈ 9.82

Итак, радиус описанной окружности в данной задаче равен примерно 9.82.

Радиус окружности равен 34.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов и сторон в треугольнике, описанном около окружности.

Обозначим стороны треугольника как a, b и c, причём a ≤ b ≤ c, и пусть a = 17. Пусть также α, β, γ — углы треугольника, противолежащие сторонам a, b, c соответственно. Так как дуги окружности, противоположные этим углам, делятся в отношении 1:2:3, то углы, опирающиеся на эти дуги, будут также пропорциональны этим числам. Так как сумма углов, опирающихся на полную окружность, равна 360°, то углы α, β, γ можно выразить через эти пропорции:

α = 60°, β = 120°, γ = 180° - α - β = 180° - 60° - 120° = 0°, что невозможно.

Однако, углы α, β, γ — это углы вписанные, они равны половинам дуг, на которые опираются. Поэтому верные углы, пропорциональные длинам дуг 1:2:3, будут:

• α = 30° (половина от 60°),
• β = 60° (половина от 120°),
• γ = 90° (половина от 180°).

Известно, что в треугольнике, описанном около окружности, длина стороны можно найти по формуле ( a = 2R \sin\alpha ) где R — радиус описанной окружности.

Теперь подставим известные значения для стороны a = 17 и угла α = 30°:

[ 17 = 2R \sin(30°) ] [ 17 = 2R \cdot \frac{1}{2} ] [ R = 17 ]

Отсюда радиус описанной окружности R равен 17.