Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны, а ее высота равна 2 дециметрам.Найдите объем пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и равные ребра, что означает, что все боковые ребра равны между собой и равны ребрам основания. Давайте обозначим длину ребра пирамиды как ( a ).

1. Определение высоты и основания: Высота пирамиды равна 2 дециметрам. Обозначим эту высоту как ( h = 2 ) дм. Поскольку основание является квадратом, его стороны равны ( b ).

2. Находим длину стороны основания: В правильной четырехугольной пирамиде высота, проведенная из вершины пирамиды к центру основания, образует прямоугольный треугольник с половиной длины стороны основания и боковым ребром. В этом треугольнике:

   • одна сторона — высота ( h ),
   • другая сторона — радиус, равный половине длины стороны основания ( \frac{b}{2} ),
   • гипотенуза — боковое ребро ( a ).

   По теореме Пифагора получаем: [ a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ]

   Подставим значение высоты: [ a^2 = 2^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ] [ a^2 = 4 + \frac{b^2}{4} ]

   Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби: [ 4a^2 = 16 + b^2 ] [ b^2 = 4a^2 - 16 ]

3. Находим объем пирамиды: Формула для объема ( V ) правильной четырехугольной пирамиды выражается как: [ V = \frac{1}{3} \cdot S{\text{основание}} \cdot h ] где ( S{\text{основание}} = b^2 ) — площадь основания.

   Подставим ( S_{\text{основание}} ) и высоту: [ V = \frac{1}{3} \cdot b^2 \cdot 2 ] [ V = \frac{2}{3} b^2 ]

4. Подставим выражение для ( b^2 ): Теперь мы можем выразить объем через ( a ): [ V = \frac{2}{3} (4a^2 - 16) ] [ V = \frac{8a^2 - 32}{3} ]

5. Получаем объем в зависимости от длины ребра ( a ): Чтобы найти конкретное значение объема, нам нужно знать длину ребра ( a ). Если, например, ( a ) равно 4 дм, подставим это значение: [ V = \frac{8 \cdot 4^2 - 32}{3} = \frac{8 \cdot 16 - 32}{3} = \frac{128 - 32}{3} = \frac{96}{3} = 32 \text{ дм}^3 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды со всеми равными ребрами и высотой 2 дм можно выразить через длину ребра ( a ): [ V = \frac{8a^2 - 32}{3} \text{ дм}^3 ] где ( a ) — длина ребра пирамиды. Если известна длина ребра, подставьте её для вычисления объема.

Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

[ V = \frac{1}{3} S_b h, ]

где ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами, основание — квадрат. Если длина ребра пирамиды равна ( a ), то высота ( h = 2 ) дм.

Сначала найдем сторону квадрата ( a ). В правильной четырехугольной пирамиде, высота, длина ребра и сторона основания связаны следующим образом:

[ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2. ]

Подставим ( h = 2 ):

[ 2^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2, ]

[ 4 + \frac{a^2}{4} = a^2. ]

Умножим на 4:

[ 16 + a^2 = 4a^2, ]

[ 16 = 3a^2, ]

[ a^2 = \frac{16}{3}, ]

[ a = \frac{4}{\sqrt{3}}. ]

Теперь найдем площадь основания ( S_b ):

[ S_b = a^2 = \frac{16}{3}. ]

Теперь можно найти объем:

[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{3} \cdot 2 = \frac{32}{9} \text{ дм}^3. ]

Таким образом, объем пирамиды составляет ( \frac{32}{9} ) дм³.

Для решения задачи сначала разберем свойства правильной четырехугольной пирамиды и используем известные формулы.

1. Свойства правильной четырехугольной пирамиды

• Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат.
• Все боковые ребра равны.
• Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к центру основания.

В данной задаче:

• Длина всех рёбер пирамиды равна ( a ) (одинаковая для боковых рёбер и рёбер основания).
• Высота пирамиды ( h = 2 ) дм.

Наша цель — найти объем пирамиды. Формула объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S{осн} \cdot h, ] где ( S{осн} ) — площадь основания (квадрата), а ( h ) — высота пирамиды.

2. Найдём длину стороны квадрата в основании

Пусть длина стороны квадрата основания равна ( x ). Тогда каждый из четырёх боковых рёбер, обозначенных как ( a ), соединяет вершину пирамиды с одной из вершин квадрата. Все боковые рёбра равны, а высота ( h ) опускается из вершины пирамиды в центр квадрата.

Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей. Расстояние от центра квадрата до любой вершины квадрата равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата выражается через сторону ( x ) как: [ d = x\sqrt{2}. ] Половина диагонали равна: [ \frac{d}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}. ]

Треугольник, образованный высотой ( h ), половиной диагонали ( \frac{x\sqrt{2}}{2} ), и боковым ребром ( a ), является прямоугольным. По теореме Пифагора: [ a^2 = h^2 + \left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)^2. ]

Подставим известное значение высоты ( h = 2 ) в уравнение: [ a^2 = 2^2 + \left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)^2. ] [ a^2 = 4 + \frac{x^2 \cdot 2}{4}. ] [ a^2 = 4 + \frac{x^2}{2}. ]

3. Связь между боковым ребром ( a ) и длиной стороны основания ( x )

Из условия задачи известно, что все рёбра пирамиды равны, то есть ( a = x ). Подставим ( a = x ) в уравнение: [ x^2 = 4 + \frac{x^2}{2}. ]

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: [ 2x^2 = 8 + x^2. ]

Перенесём ( x^2 ) влево: [ 2x^2 - x^2 = 8. ] [ x^2 = 8. ]

Таким образом, длина стороны квадрата равна: [ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{дм}. ]

4. Найдём площадь основания

Основание пирамиды — квадрат со стороной ( x = 2\sqrt{2} ). Площадь квадрата рассчитывается по формуле: [ S{осн} = x^2. ] [ S{осн} = (2\sqrt{2})^2 = 8 \, \text{дм}^2. ]

5. Найдём объём пирамиды

Теперь подставим значения в формулу объёма пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h. ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2 = \frac{16}{3} \, \text{дм}^3. ]

Ответ:

Объём правильной четырехугольной пирамиды равен: [ V = \frac{16}{3} \, \text{дм}^3 \, \text{или примерно } 5{,}33 \, \text{дм}^3. ]