Все стороны квадрата, периметр которого равен 40 см, касаются сферы. найдите площадь сферы, если расстояние...

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус сферы, так как известно, что расстояние от центра сферы до плоскости квадрата равно 12 см. Поскольку стороны квадрата касаются сферы, то это означает, что от центра сферы до любой стороны квадрата радиус сферы будет равен длине стороны квадрата. Таким образом, радиус сферы равен 20 см.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4πr^2, где r - радиус сферы. Подставляя известные значения, получаем S = 4π 20^2 = 4π 400 = 1600π см^2.

Таким образом, площадь сферы, касающейся всех сторон квадрата с периметром 40 см и имеющей расстояние от центра до плоскости квадрата 12 см, равна 1600π квадратных сантиметров.

Площадь сферы равна 144π см².

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдем сторону квадрата: Периметр квадрата ( P ) равен 40 см. Поскольку квадрат имеет четыре равные стороны, длина одной стороны ( a ) будет: [ a = \frac{P}{4} = \frac{40}{4} = 10 \text{ см} ]

2. Определим радиус сферы: Поскольку все стороны квадрата касаются сферы, квадрат является касательной плоскостью к сфере, а центр сферы расположен на перпендикуляре, проведенном из центра квадрата к центру сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости квадрата дано как 12 см. Это расстояние является частью радиуса ( R ) сферы. В данном случае нам необходимо воспользоваться треугольником, образованным радиусом сферы, радиусом вписанного круга в квадрат и расстоянием от центра сферы до плоскости квадрата.

   Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, то есть: [ r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ]

   В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это радиус сферы ( R ), катеты — это радиус вписанной окружности ( r = 5 ) см и расстояние от центра сферы до плоскости квадрата (12 см), по теореме Пифагора: [ R = \sqrt{r^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} ]

3. Найдем площадь поверхности сферы: Площадь поверхности сферы ( S ) вычисляется по формуле: [ S = 4\pi R^2 ] Подставим найденное значение радиуса: [ S = 4\pi \times 13^2 = 4\pi \times 169 = 676\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности сферы равна ( 676\pi ) квадратных сантиметров.