Вычисите cos 45 градусов минус sin в квадрате 150 градусов плюс cos 120 градусов?

Давайте подробно разберем и решим заданный пример:

Нужно вычислить:
[ \cos 45^\circ - \sin^2 150^\circ + \cos 120^\circ ]

Шаг 1. Значения тригонометрических функций.

1. (\cos 45^\circ):
   Для угла (45^\circ), (\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}).

2. (\sin^2 150^\circ):
   Сначала найдем (\sin 150^\circ). Угол (150^\circ) находится во 2-й четверти, где синус положителен. При этом (\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}).
   Теперь возводим в квадрат:
   [ \sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. ]

3. (\cos 120^\circ):
   Угол (120^\circ) также находится во 2-й четверти, где косинус отрицателен. При этом (\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}).

Шаг 2. Подставляем значения в выражение.

Теперь подставляем все вычисления:
[ \cos 45^\circ - \sin^2 150^\circ + \cos 120^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{2}\right). ]

Шаг 3. Приводим к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей (\frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{1}{4}), и (-\frac{1}{2}) равен 4. Преобразуем каждую дробь:
[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}, \quad -\frac{1}{2} = -\frac{2}{4}. ] Теперь выражение принимает вид:
[ \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{4}. ]

Шаг 4. Считаем числитель.

Складываем дроби:
[ \frac{2\sqrt{2} - 1 - 2}{4} = \frac{2\sqrt{2} - 3}{4}. ]

Ответ:

[ \cos 45^\circ - \sin^2 150^\circ + \cos 120^\circ = \frac{2\sqrt{2} - 3}{4}. ]

Чтобы вычислить выражение ( \cos 45^\circ - \sin^2 150^\circ + \cos 120^\circ ), сначала найдем значения тригонометрических функций:

1. ( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} )
2. ( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ), поэтому ( \sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} )
3. ( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} )

Теперь подставим эти значения в выражение:

[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ]

Приведем все к общему знаменателю (4):

[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}, \quad -\frac{1}{2} = -\frac{2}{4} ]

Теперь выражение выглядит так:

[ \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{2\sqrt{2} - 3}{4} ]

Ответ: ( \frac{2\sqrt{2} - 3}{4} )

Для решения задачи сначала найдем значения косинуса и синуса соответствующих углов.

1. Вычисляем cos 45°: [ \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Вычисляем sin² 150°: [ \sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} ] Теперь возводим в квадрат: [ \sin^2 150° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} ]

3. Вычисляем cos 120°: [ \cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2} ]

Теперь, подставим найденные значения в выражение: [ \cos 45° - \sin^2 150° + \cos 120° ] Подставляем значения: [ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ]

Чтобы удобно выполнить вычисления, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2, 4 и 2 — это 4.

Переписываем каждое слагаемое:

1. (\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4})
2. (-\frac{1}{4}) остается без изменений.
3. (-\frac{1}{2} = -\frac{2}{4})

Теперь подставим в выражение: [ \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{2\sqrt{2} - 1 - 2}{4} = \frac{2\sqrt{2} - 3}{4} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{2\sqrt{2} - 3}{4} ]