Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 3√ 3 мм и образует с большей стороной...

Большая сторона равна 3 мм.

Меньшая сторона равна 3√3 мм.

Площадь прямоугольника равна 27 мм2.

Чтобы найти стороны и площадь прямоугольника, начнем с анализа условий задачи.

1. Дано:

   • Диагональ прямоугольника (d = 3\sqrt{3}) мм.
   • Угол между диагональю и большей стороной прямоугольника (\theta = 30^\circ).

2. Поиск сторон:

   • Обозначим большую сторону прямоугольника за (a), а меньшую за (b).
   • Известно, что диагональ (d) и стороны (a) и (b) прямоугольника связаны теоремой Пифагора: [ d^2 = a^2 + b^2 ]
   • Подставим значение диагонали: [ (3\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad 27 = a^2 + b^2 ]
   • Используем информацию об угле (30^\circ): [ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{d} ]
   • Подставим значение диагонали: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{3\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ мм} ]

3. Найдем меньшую сторону (b):

   • Подставим значение (a) в уравнение из теоремы Пифагора: [ 27 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad 27 = \frac{81}{4} + b^2 ]
   • Решим уравнение: [ b^2 = 27 - \frac{81}{4} = \frac{108}{4} - \frac{81}{4} = \frac{27}{4} ]
   • Найдем (b): [ b = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ мм} ]

4. Вычислим площадь прямоугольника:

   • Площадь (S) равна произведению сторон: [ S = a \times b = \frac{9}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ мм}^2 ]

Таким образом, стороны прямоугольника составляют (4.5) мм и (\frac{3\sqrt{3}}{2}) мм, а площадь равна (\frac{27\sqrt{3}}{4}) мм(^2).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами тригонометрии и геометрии.

Пусть большая сторона прямоугольника равна а мм, меньшая сторона равна b мм. Тогда диагональ прямоугольника - гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного диагональю и сторонами прямоугольника.

Из условия задачи известно, что диагональ равна 3√3 мм, а угол между диагональю и большей стороной равен 30 градусов.

Мы можем записать уравнение для большой стороны прямоугольника через тригонометрические функции: sin(30°) = b / (3√3) => b = 3√3 sin(30°) = 3√3 1/2 = 3√3 / 2 = 3√3 / 2 мм.

Также, зная, что диагональ равна 3√3 мм и большая сторона равна а мм, можем выразить меньшую сторону через большую и диагональ: a^2 + (3√3 / 2)^2 = (3√3)^2 a^2 + 27 / 4 = 27 a^2 = 27 - 27 / 4 = 81 / 4 a = √(81 / 4) = 9 / 2 = 4.5 мм.

Таким образом, большая сторона прямоугольника равна 4.5 мм, меньшая сторона равна 3√3 / 2 мм, а площадь прямоугольника равна (4.5 * 3√3 / 2) = 6.75√3 мм^2.