Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями у=х², у=0, х=1, х=2. Ответ запишите 3S.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 2 ), мы сначала определим, что данная фигура представляет собой часть параболы между вертикальными прямыми ( x = 1 ) и ( x = 2 ), ограниченную снизу осью ( y = 0 ).

Площадь этой фигуры можно вычислить с помощью определённого интеграла функции ( y = x^2 ) по ( x ) от 1 до 2: [ S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx ]

Вычислим этот интеграл: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C ]

Теперь найдем определённый интеграл: [ S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} ]

Таким образом, площадь заданной фигуры равна ( \frac{7}{3} ) квадратных единиц. В задании требуется найти ( 3S ), то есть: [ 3S = 3 \times \frac{7}{3} = 7 ]

Ответ: ( 3S = 7 ).

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна интегралу функции y=x^2 от x=1 до x=2, что равно 3S=7/3.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти интеграл функции y=x^2 на интервале от x=1 до x=2, так как y=0 является нижней границей.

Интегрируя функцию y=x^2 на интервале [1, 2], получаем: ∫[1,2] x^2 dx = [1/3 * x^3] [1,2] = 1/3 2^3 - 1/3 1^3 = 7/3

Таким образом, площадь фигуры равна 7/3, что в данном случае соответствует 3S.