Вычислите угол между прямыми AB и CD если: A(3.-2.4) В(4.-1.2) С (6.-3.2) D(7.-3.1)
Вычислите угол между прямыми AB и CD если: A(3.-2.4) В(4.-1.2) С (6.-3.2) D(7.-3.1)
Чтобы найти угол между прямыми ( AB ) и ( CD ), необходимо сначала определить направляющие векторы этих прямых. Направляющий вектор для прямой ( AB ) можно найти, вычитая координаты точки ( A ) из координат точки ( B ):
[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, -1 + 2, 2 - 4) = (1, 1, -2) ]
Аналогично, направляющий вектор для прямой ( CD ) будет:
[ \overrightarrow{CD} = D - C = (7 - 6, -3 + 3, 1 - 2) = (1, 0, -1) ]
Теперь мы можем использовать скалярное произведение векторов для вычисления косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) можно найти по формуле:
[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(1) + (1)(0) + (-2)(-1) = 1 + 0 + 2 = 3 ]
Далее, найдем длины векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ):
[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} ]
[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} ]
Теперь можем найти косинус угла (\theta) между векторами, используя формулу:
[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Таким образом, угол (\theta) между прямыми ( AB ) и ( CD ) равен:
[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ]
Это значение соответствует углу в 30 градусов или, в радианах, (\frac{\pi}{6}).
Для вычисления угла между прямыми AB и CD можно воспользоваться формулой косинуса угла между векторами.
Найдем векторы AB и CD: AB = B - A = (4 - 3, -1 - (-2), 2 - 4) = (1, 1, -2) CD = D - C = (7 - 6, -3 - (-3), 1 - 2) = (1, 0, -1)
Найдем скалярное произведение векторов AB и CD: AB CD = 1 1 + 1 0 + (-2) (-1) = 1 + 0 + 2 = 3
Найдем длины векторов AB и CD: |AB| = √(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6 |CD| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2
Вычислим косинус угла между векторами: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|) = 3 / (√6 * √2) = 3 / (√12) = 3 / 2√3 = √3 / 2
Найдем значение угла θ: θ = arccos(√3 / 2) ≈ 30°
Таким образом, угол между прямыми AB и CD составляет примерно 30 градусов.
