Высота цилиндра на 2 см меньше его радиуса. Площадь боковой поверзности цилиндра равна 160П см2. а)...

а) Пусть радиус цилиндра равен R, тогда его высота будет R-2. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле Sб = 2πR(R-2) = 160π. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Sб = 2πR^2 - 4πR = 160π 2πR^2 - 4πR - 160π = 0 R^2 - 2R - 80 = 0 (R-10)(R+8) = 0 R = 10 (так как радиус не может быть отрицательным)

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга с радиусом R, то есть S = πR^2 = π*10^2 = 100π см^2.

б) Площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси на расстояние 6 см от нее, можно найти, как площадь круга с радиусом R-6: S = π(R-6)^2 = π*4^2 = 16π см^2.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Высота цилиндра ( h ) на 2 см меньше его радиуса ( r ), то есть: [ h = r - 2 ]

2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна ( 160\pi ) см(^2). Формула для площади боковой поверхности цилиндра: [ S_{\text{бок}} = 2\pi rh ] Подставим известное значение: [ 2\pi rh = 160\pi ] Упростим, разделив обе части на (\pi): [ 2rh = 160 ] [ rh = 80 ]

Найдем радиус и высоту:

Подставим выражение для высоты ( h = r - 2 ) в уравнение ( rh = 80 ): [ r(r - 2) = 80 ] [ r^2 - 2r - 80 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле: [ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -80 ).

[ r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} ] [ r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} ] [ r = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} ] [ r = \frac{2 \pm 18}{2} ]

Получаем два значения: ( r = 10 ) или ( r = -8 ). Поскольку радиус не может быть отрицательным, берём ( r = 10 ).

Теперь найдем высоту: [ h = r - 2 = 10 - 2 = 8 ]

а) Найдите площадь осевого сечения цилиндра:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник с сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру его основания.

Диаметр основания равен ( 2r = 20 ).

Площадь осевого сечения: [ S_{\text{осевое}} = 2r \times h = 20 \times 8 = 160 \text{ см}^2 ]

б) Найдите площадь сечения цилиндра, проведённого параллельно его оси на расстоянии 6 см от неё:

Такое сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра ( h = 8 ), а другая — хорда, находящаяся на расстоянии 6 см от центра основания.

Найдем длину хорды. Пусть ( d ) — длина хорды:

Используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом, отрезком от центра до хорды (6 см) и половиной хорды: [ \left(\frac{d}{2}\right)^2 + 6^2 = r^2 ] [ \left(\frac{d}{2}\right)^2 + 36 = 10^2 ] [ \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 100 - 36 = 64 ] [ \frac{d}{2} = 8 ] [ d = 16 ]

Площадь сечения: [ S_{\text{сечение}} = d \times h = 16 \times 8 = 128 \text{ см}^2 ]

Таким образом, ответы: а) Площадь осевого сечения — 160 см(^2). б) Площадь сечения, проведённого параллельно оси на расстоянии 6 см от неё — 128 см(^2).