Высота цилиндра равна пять корней из трех , а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для объема цилиндра:

V = S * h,

где V - объем цилиндра, S - площадь основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Дано, что высота цилиндра равна 5√3, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30 градусов. По условию задачи, диагональ осевого сечения равна диаметру основания цилиндра.

Теперь нам нужно найти площадь основания цилиндра. Поскольку угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен 30 градусов, то треугольник, образованный диагональю и радиусом основания, является равносторонним. Следовательно, у нас есть правильный шестиугольник.

Пусть радиус основания цилиндра равен r. Тогда с помощью тригонометрии мы можем найти сторону правильного шестиугольника:

r = d / 2 = 2r, где d - диагональ основания цилиндра.

Таким образом, площадь основания цилиндра:

S = 6 (r^2 √3 / 4) = 3 r^2 √3.

Теперь мы можем найти объем цилиндра:

V = S h = 3 r^2 √3 5√3 = 15 3 r^2 = 45 * r^2.

Таким образом, объем цилиндра равен 45 * r^2.

Давайте рассмотрим задачу пошагово.

1. Понимание условий задачи:

   • Высота цилиндра ( h ) равна ( 5\sqrt{3} ).
   • Диагональ осевого сечения образует угол ( 30^\circ ) с плоскостью основания.

2. Осевое сечение цилиндра: Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра ( h ), а ширина – диаметру основания цилиндра ( 2r ).

3. Диагональ осевого сечения: Диагональ осевого сечения можно обозначить как ( d ). В прямоугольнике с высотой ( h ) и шириной ( 2r ), диагональ ( d ) вычисляется по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} ]

4. Угол между диагональю и плоскостью основания: Диагональ ( d ) образует угол ( 30^\circ ) с плоскостью основания. Плоскость основания – это горизонтальная плоскость, и угол между диагональю и этой плоскостью даёт нам возможность использовать тригонометрию для нахождения радиуса основания ( r ).

5. Использование тригонометрии: Косинус угла ( 30^\circ ) равен отношению высоты ( h ) к диагонали ( d ): [ \cos 30^\circ = \frac{h}{d} ] Мы знаем, что (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}). Подставим известные значения: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{d} ] Подставим ( h = 5\sqrt{3} ): [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{d} ] Решим это уравнение для ( d ): [ d = \frac{5\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 10 ]

6. Нахождение радиуса основания: Теперь, зная ( d = 10 ) и ( h = 5\sqrt{3} ), подставим это в уравнение для диагонали прямоугольника: [ d^2 = h^2 + (2r)^2 ] Подставим значения: [ 10^2 = (5\sqrt{3})^2 + (2r)^2 ] [ 100 = 75 + 4r^2 ] [ 25 = 4r^2 ] [ r^2 = \frac{25}{4} ] [ r = \frac{5}{2} = 2.5 ]

7. Нахождение объема цилиндра: Объем цилиндра ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \pi r^2 h ] Подставим найденные значения ( r = 2.5 ) и ( h = 5\sqrt{3} ): [ r^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} ] [ V = \pi \cdot \frac{25}{4} \cdot 5\sqrt{3} ] [ V = \pi \cdot \frac{125\sqrt{3}}{4} ] [ V = \frac{125\pi\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, объем цилиндра равен (\frac{125\pi\sqrt{3}}{4}).