Высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки,...

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о высоте, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

Пусть ( ABC ) — это прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине ( C ). Высота ( CD ), проведенная из вершины ( C ) к гипотенузе ( AB ), делит её на отрезки ( AD ) и ( DB ), равные 4 см и 9 см соответственно.

Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним геометрическим между отрезками, на которые она делит гипотенузу. Это можно записать в виде:

[ CD = \sqrt{AD \cdot DB} ]

Подставим данные из задачи:

[ CD = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} ]

Теперь найдём площадь треугольника ( ABC ). Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов. Но у нас есть другой способ, поскольку известны длины отрезков на гипотенузе и высота:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AB \times CD ]

Сначала найдём длину гипотенузы ( AB ), зная отрезки ( AD ) и ( DB ):

[ AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 \text{ см} ]

Теперь можно подставить в формулу для площади:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 13 \times 6 = \frac{1}{2} \times 78 = 39 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) равна ( 39 ) квадратных сантиметров.

Дано: (AC = 4 \,см), (BC = 9 \,см).

Из условия задачи мы знаем, что (AC = 4 \,см) и (BC = 9 \,см). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника (ABC) с гипотенузой (AB) и катетами (AC) и (BC) имеем:

[AB^2 = AC^2 + BC^2]

[AB^2 = 4^2 + 9^2]

[AB^2 = 16 + 81]

[AB^2 = 97]

[AB = \sqrt{97} \,см]

Теперь можем найти площадь треугольника (ABC). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть:

[S_{ABC} = \frac{AC \cdot BC}{2}]

[S_{ABC} = \frac{4 \cdot 9}{2}]

[S_{ABC} = \frac{36}{2}]

[S_{ABC} = 18 \,см^2]

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника (ABC) равна (18 \,см^2).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть S = (4 * 9) / 2 = 18 кв. см.