Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а ее апофема образует с высотой основания угол...

Для решения задачи начнём с понимания данной геометрической фигуры. Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание, и все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Высота пирамиды (обозначим её как ( h )) равна 4 см, и апофема (боковая высота треугольной грани, обозначим её как ( l )) образует с высотой основания угол 45 градусов. Апофема простирается от вершины пирамиды к середине ребра основания.

1. Определение длины апофемы ( l ): Так как апофема образует с высотой угол 45 градусов, и высота пирамиды равна 4 см, то по свойству угла 45 градусов в равнобедренном прямоугольном треугольнике апофема ( l ) также будет равна 4 см.

2. Определение стороны основания ( a ): Высота пирамиды ( h ) проходит от вершины к центру основания, а апофема ( l ) — к середине стороны основания, образуя прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой. Половина длины стороны основания (половина ( a )) и высота ( h ) являются катетами этого треугольника. Тогда: [ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2 ] Подставляем известные значения: [ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4^2 = 4^2 ] Следовательно: [ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 0 \Rightarrow a = 0 ] Так как это невозможно для реальной фигуры, проверим расчёты. Вероятно, была допущена ошибка в понимании условия. Поскольку апофема — гипотенуза, и образует с высотой угол 45 градусов, то: [ \frac{a}{2} = h = 4 \Rightarrow a = 8 \text{ см} ]

3. Площадь одной боковой грани: Площадь одной боковой грани (равнобедренный треугольник) можно найти по формуле: [ S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2 ]

4. Площадь боковой поверхности пирамиды: Так как у пирамиды четыре боковые грани: [ S_{\text{бок}} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 64 см².

Для начала найдем длину бокового ребра пирамиды. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, образованный высотой, апофемой и половиной длины бокового ребра, можем воспользоваться тригонометрическим соотношением: tg(45°) = высота / половина длины бокового ребра tg(45°) = 4 / (0.5 a) 1 = 4 / (0.5 a) a = 4 / 0.5 = 8 см

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку пирамида правильная, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Для нахождения площади боковой поверхности воспользуемся формулой: S = 0.5 периметр основания боковое ребро S = 0.5 4 8 = 16 см²

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 16 квадратным сантиметрам.