Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. а) Найдите боковое ребро пирамиды б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Помогите пожалуйста, завтра контрольная
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. а) Найдите боковое ребро пирамиды б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Помогите пожалуйста, завтра контрольная
Для решения задачи нам понадобится рассмотреть правильную четырехугольную пирамиду и её геометрические свойства.
а) Найдем боковое ребро пирамиды. Поскольку боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (которая является одной из сторон треугольника), боковым ребром (которое является гипотенузой) и половиной диагонали основания (которая является проекцией бокового ребра на плоскость основания).
Пусть ( L ) — длина бокового ребра, ( h = \sqrt{6} ) см — высота пирамиды. Из соотношения, использующего тригонометрический тангенс угла наклона бокового ребра: [ \tan 60^\circ = \frac{h}{\frac{d}{2}} ] где ( d ) — диагональ основания пирамиды. Так как основание пирамиды — квадрат, то ( d = a\sqrt{2} ), где ( a ) — сторона квадрата. Тогда: [ \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} ] [ a\sqrt{2}\sqrt{3} = 2\sqrt{6} ] [ a = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 2 \text{ см} ]
Теперь, когда известна сторона основания, можно найти диагональ ( d ): [ d = 2\sqrt{2} \text{ см} ]
Учитывая, что боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами ( \frac{d}{2} ) и ( h ): [ L^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\sqrt{6}\right)^2 ] [ L^2 = 2 + 6 ] [ L = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]
б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из четырех одинаковых треугольников. Площадь одного треугольника ( S ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ] Основание каждого бокового треугольника равно ( a = 2 \text{ см} ). Высоту бокового треугольника найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной диагонали основания и высотой бокового треугольника: [ \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \text{высота}^2 = (2\sqrt{2})^2 ] [ 2 + \text{высота}^2 = 8 ] [ \text{высота}^2 = 6 ] [ \text{высота} = \sqrt{6} \text{ см} ]
Теперь площадь одного треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6} \text{ см}^2 ] Площадь всей боковой поверхности: [ 4 \cdot \sqrt{6} \text{ см}^2 ]
а) Для нахождения бокового ребра пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Обозначим боковое ребро через (a), половину основания через (b) (так как это прямоугольный треугольник), а высоту пирамиды через (\sqrt{6}). Тогда получаем следующее уравнение: [a^2 = b^2 + (\sqrt{6})^2] Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то (b = \sqrt{3}) (половина основания равна стороне квадрата, вписанного в окружность радиусом (\sqrt{3})). Подставляем значения и находим: [a^2 = 3 + 6] [a^2 = 9] [a = 3] Ответ: боковое ребро пирамиды равно 3 см.
б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых треугольников. Поскольку у нас пирамида является правильной, то её боковые треугольники равнобедренные. Найдем площадь одного из таких треугольников. Поскольку у нас боковое ребро равно 3 см, а высота равна (\sqrt{6}) см, то площадь треугольника равна: [S = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2}] Так как у пирамиды 4 таких треугольника, то площадь боковой поверхности равна: [4 \times \frac{3\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}] Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна (6\sqrt{6}) кв. см.
