Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 м боковая ее грань наклонена под углом 45 градусов. Вычислите...

Площадь боковой поверхности пирамиды равна S = 1/2 периметр основания высота. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания равен 3 сторона. Таким образом, S = 1/2 3 4 4 = 24 кв. м.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, необходимо сначала определить некоторые её размеры. Вот пошаговое решение задачи:

1. Определим структуру пирамиды:

   • Правильная треугольная пирамида имеет в основании правильный треугольник, а все боковые грани — равнобедренные треугольники.

2. Высота пирамиды:

   • Высота пирамиды (расстояние от вершины до центра основания), ( h ), равна 4 м.

3. Угол наклона боковой грани:

   • Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 45 градусов. Это означает, что высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания, образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

4. Найдем длину высоты боковой грани:

   • Высота боковой грани, опущенная на сторону основания, образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды и апофемой (высотой боковой грани).
   • Пусть ( l ) — длина апофемы.
   • Из треугольника получаем: (\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{3}a} = 1).
   • То есть (\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}a} = 1), отсюда (a = \frac{4\sqrt{3}}{3}).

5. Найдем апофему ( l ):

   • Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и апофемой: [ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} ] [ = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3} ]

6. Площадь боковой поверхности:

   • Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трех боковых треугольников. Площадь одного треугольника: [ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{30}}{9} = \frac{8\sqrt{30}}{9} ]
   • Умножаем на 3, так как таких треугольника три: [ S_{\text{боковая}} = 3 \cdot \frac{8\sqrt{30}}{9} = \frac{24\sqrt{30}}{9} = \frac{8\sqrt{30}}{3} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет (\frac{8\sqrt{30}}{3}) квадратных метров.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды нам нужно вычислить площадь одного из треугольников, составляющих боковую поверхность, и умножить эту площадь на количество таких треугольников.

Поскольку высота пирамиды равна 4 м и боковая грань наклонена под углом 45 градусов, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, один из которых имеет гипотенузу равную высоте пирамиды (4 м), а другой - одну из сторон основания правильного треугольника. Таким образом, у нас получится прямоугольный треугольник с катетами 4 м и a, где a - сторона правильного треугольника.

Используя тригонометрические функции, мы можем найти сторону a правильного треугольника: a = 4 tg(45°) = 4 1 = 4 м.

Теперь мы можем найти площадь одного из треугольников: S = 0.5 a h = 0.5 4 4 = 8 м².

Поскольку у нас есть 3 таких треугольника, составляющих боковую поверхность пирамиды, общая площадь боковой поверхности будет равна: S = 3 * 8 = 24 м².

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 24 квадратным метрам.