Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Радиус окружности, описанной около её основания -...

Для решения задач, связанных с правильной треугольной пирамидой, нам нужно воспользоваться некоторыми известными свойствами и формулами.

а) Вычисление длины бокового ребра пирамиды

1. Основные параметры:

   • Высота пирамиды (h) = 6 см
   • Радиус описанной окружности основания (R) = 4√3 см

2. Связь радиуса описанной окружности и стороны основания: В правильном треугольнике радиус описанной окружности (R) связан со стороной треугольника (a) формулой: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Отсюда можем найти сторону основания треугольника: [ a = R \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} ]

3. Высота основания (h_основания): Высота правильного треугольника делится медианой на две равные части, и ее можно найти по формуле: [ h_основания = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

4. Связь высоты пирамиды, высоты основания и бокового ребра: Используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, высотой основания и боковым ребром (s): [ s^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 ] Здесь ( \frac{a\sqrt{3}}{3} ) - это расстояние от центра основания до вершины треугольника (радиус вписанной окружности). Подставляем значения: [ s^2 = 6^2 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 36 + \left(4\sqrt{3}\right)^2 = 36 + 48 = 84 ] [ s = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \text{ см} ]

б) Вычисление площади боковой поверхности пирамиды

1. Площадь одного бокового треугольника: Площадь бокового треугольника (равнобедренного), образованного боковым ребром (s) и стороной основания (a), можно найти через высоту этого треугольника. Высота бокового треугольника (h_бок) делит его на два прямоугольных треугольника.

   [ h_бок = \sqrt{s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{21})^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{84 - 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

   Площадь одного бокового треугольника (Т_бок): [ Т_бок = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_бок = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

2. Площадь боковой поверхности пирамиды: Поскольку у правильной треугольной пирамиды три одинаковых боковых треугольника, площадь боковой поверхности (S_бок) равна: [ S_бок = 3 \cdot Т_бок = 3 \cdot 24\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, ответы на поставленные вопросы: а) Длина бокового ребра пирамиды ( s ) = ( 2\sqrt{21} ) см б) Площадь боковой поверхности пирамиды ( S_бок ) = ( 72\sqrt{3} ) см²

а) Для нахождения длины бокового ребра пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Пусть h - высота пирамиды, r - радиус описанной окружности, а l - длина бокового ребра. Тогда справедливо следующее уравнение:

l^2 = h^2 + r^2

Подставляем известные значения:

l^2 = 6^2 + (4√3)^2 l^2 = 36 + 48 l^2 = 84

l = √84 l ≈ 9.17 см

Ответ: длина бокового ребра пирамиды равна примерно 9.17 см.

б) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:

S = 0.5 p l

Где p - периметр основания пирамиды, l - длина бокового ребра. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания равен 3 * сторона треугольника.

Поскольку радиус описанной окружности равен 4√3, то сторона треугольника равна 2 * радиус описанной окружности:

a = 2 * 4√3 a = 8√3

p = 3 * 8√3 p = 24√3

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

S = 0.5 24√3 9.17 S ≈ 110.04 см^2

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна примерно 110.04 см^2.