Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус окружности, описанной около ее основания-8...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами правильной треугольной пирамиды.

а) Длина бокового ребра пирамиды: Из свойств правильной треугольной пирамиды следует, что боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Поэтому мы можем разделить боковую грань пирамиды на два прямоугольных треугольника, один из которых будет равнобедренным. Рассмотрим один из таких треугольников: его катет равен высоте пирамиды (8 см), а гипотенуза - длине бокового ребра. По теореме Пифагора получаем: (длина бокового ребра)^2 = (радиус описанной окружности)^2 + (высота пирамиды)^2 (длина бокового ребра)^2 = (8√3)^2 + 8^2 (длина бокового ребра)^2 = 192 + 64 (длина бокового ребра)^2 = 256 (длина бокового ребра) = 16 см

б) Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань - равнобедренный треугольник. Поэтому площадь одной боковой грани равна: S = 0.5 (длина бокового ребра) (полупериметр основания) S = 0.5 16 (8√3 + 8 + 8) S = 0.5 16 24√3 S = 192√3 кв.см

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна 16 см, а площадь боковой поверхности пирамиды составляет 192√3 кв.см.

Для решения задачи сначала определим необходимые элементы правильной треугольной пирамиды. Основание такой пирамиды — правильный треугольник.

а) Длина бокового ребра пирамиды

1. Радиус описанной окружности: Поскольку основание пирамиды — правильный треугольник, радиус описанной окружности ( R ) равен ( \frac{a \sqrt{3}}{3} ), где ( a ) — сторона треугольника. Нам дано, что ( R = 8\sqrt{3} ).

   [ \frac{a \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} ]

   Умножим обе стороны на 3:

   [ a \sqrt{3} = 24\sqrt{3} ]

   Делим обе стороны на (\sqrt{3}):

   [ a = 24 ]

2. Центр основания и высота пирамиды: Высота пирамиды ( h ) равна 8 см. Центр основания (центр описанной окружности) совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. В правильном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают.

3. Высота основания: Высота треугольника (медиана) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Высота ( h_0 ) треугольника может быть найдена по формуле:

   [ h_0 = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{24 \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} ]

4. Длина бокового ребра: Используем теорему Пифагора для нахождения бокового ребра ( l ):

   [ l^2 = h^2 + \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 ]

   Где (\frac{2R}{\sqrt{3}}) — это радиус вписанной окружности, равный высоте от центра основания до стороны треугольника. Подставляем значения:

   [ l^2 = 8^2 + \left(8\right)^2 ]

   [ l^2 = 64 + 64 = 128 ]

   [ l = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} ]

б) Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из трех равных треугольников. Площадь одного из этих треугольников можно найти через полупериметр и радиус вписанной окружности. Полупериметр равен ( \frac{3a}{2} = 36 ).

1. Площадь одного бокового треугольника: Используем формулу площади треугольника через основание и высоту (высота — апофема, найденная ранее):

   [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 8 = 96 ]

2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды равна трём площадям бокового треугольника:

   [ S_{\text{б}} = 3 \times 96 = 288 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды составляет ( 8\sqrt{2} ) см, а площадь боковой поверхности пирамиды равна ( 288 \, \text{см}^2 ).