Высота усечённого конуса 4 см , радиусы основания равны 2 см и 5 см . Найти площадь боковой и полной...

Для начала нарисуем сечение усеченного конуса.

Пусть ( R_1 = 2 ) см - радиус большего основания, ( R_2 = 5 ) см - радиус меньшего основания, ( h = 4 ) см - высота усеченного конуса.

Так как у нас усеченный конус, нам нужно найти радиусы малых оснований ( r_1 ) и ( r_2 ), которые находятся на высоте ( h ) от большого и малого основания соответственно. Для этого воспользуемся подобием треугольников.

[ \frac{r_1}{R_1} = \frac{h}{H}, \quad \frac{r_2}{R_2} = \frac{h}{H} ]

Где ( H ) - общая высота конуса. Так как ( H = h + H_1 ), где ( H_1 ) - высота большего конуса, то ( H_1 = H - h ).

Теперь найдем ( H ) по теореме Пифагора для большего конуса:

[ H_1^2 = R_1^2 - r_1^2, \quad H^2 = R_1^2 - r_1^2 ]

[ H^2 = R_1^2 - \left( \frac{R_1 \cdot h}{H} \right)^2, \quad H^2 = R_1^2 - \frac{R_1^2 \cdot h^2}{H^2} ]

[ H^4 = H^2 \cdot R_1^2 - R_1^2 \cdot h^2, \quad H^4 - H^2 \cdot R_1^2 = -R_1^2 \cdot h^2 ]

[ H^2 \cdot (H^2 - R_1^2) = -R_1^2 \cdot h^2, \quad H^2 = \frac{R_1^2 \cdot h^2}{R_1^2 - H^2} ]

Подставляем полученное значение ( H ) в формулы для ( r_1 ) и ( r_2 ). Получаем:

[ r_1 = \frac{R_1 \cdot h}{\sqrt{R_1^2 - \frac{R_1^2 \cdot h^2}{R_1^2 - H^2}}}, \quad r_2 = \frac{R_2 \cdot h}{\sqrt{R_2^2 - \frac{R_2^2 \cdot h^2}{R_2^2 - H^2}}} ]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности усеченного конуса:

[ S_{бок} = \frac{\pi(R_1 + R_2) \cdot l}{2} ]

Где ( l ) - образующая конуса, которую можно найти по теореме Пифагора для треугольника с катетами ( R_1 - r_1 ) и ( H ):

[ l^2 = (R_1 - r_1)^2 + H^2 ]

Подставляем все значения и находим площадь боковой поверхности.

Чтобы найти полную площадь усеченного конуса, нужно добавить к площади боковой поверхности площади двух оснований:

[ S{полн} = S{бок} + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 ]

Подставляем все значение и находим полную площадь усеченного конуса.

Чтобы найти площадь боковой и полной поверхности усечённого конуса, мы воспользуемся следующими формулами.

Дано:

• Высота усечённого конуса (( h )) = 4 см
• Радиус нижнего основания (( R )) = 5 см
• Радиус верхнего основания (( r )) = 2 см

Найдем образующую (( l )):

Образующая — это боковая сторона усечённого конуса, которая соединяет края двух оснований. Она может быть найдена с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, разностью радиусов и образующей:

[ l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

Площадь боковой поверхности (( S_{бок} )):

Формула для площади боковой поверхности усечённого конуса:

[ S_{бок} = \pi \cdot (R + r) \cdot l ]

Подставим значения:

[ S_{бок} = \pi \cdot (5 + 2) \cdot 5 = \pi \cdot 7 \cdot 5 = 35\pi \text{ см}^2 ]

Площадь полной поверхности (( S_{полн} )):

Площадь полной поверхности усечённого конуса включает в себя боковую поверхность и площади двух оснований:

[ S{полн} = S{бок} + \pi R^2 + \pi r^2 ]

Подставим значения:

[ S_{полн} = 35\pi + \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 2^2 = 35\pi + 25\pi + 4\pi = 64\pi \text{ см}^2 ]

Итоги:

• Площадь боковой поверхности: ( 35\pi ) см²
• Площадь полной поверхности: ( 64\pi ) см²

На рисунке (который я, к сожалению, не могу предоставить в текстовом виде), усечённый конус будет выглядеть как две окружности разного радиуса, соединённые боковыми линиями (образующими). Высота ( h ) будет представлена вертикальной линией, а радиусы ( R ) и ( r ) — горизонтальными линиями от центра верхней и нижней окружностей соответственно.